GMAT數(shù)學(xué)三大難點(diǎn)解析
大部分同學(xué)在準(zhǔn)備GMAT數(shù)學(xué)的過程中常常會(huì)遇到一些意料之外的困難。比如說很多同學(xué)本身數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不錯(cuò)，又聽說GMAT數(shù)學(xué)只相當(dāng)于國內(nèi)的高一水平，便對(duì)數(shù)學(xué)略有輕視。直到自己上過的GMAT數(shù)學(xué)課并做過練習(xí)和模考后，才驚然發(fā)現(xiàn)在看似簡單的GMAT數(shù)學(xué)考試中取得滿分并非易如反掌。那么GMAT數(shù)學(xué)到底是如何困擾中國考生，進(jìn)而阻礙大家拿到滿分的呢?總結(jié)起來一共有三個(gè)方面，也就是我們接下來要解析的GMAT數(shù)學(xué)的三大難點(diǎn)：讀題問題，思維問題，和細(xì)節(jié)問題。
讀題問題
曾經(jīng)有同學(xué)這么對(duì)我說：如果把GMAT的數(shù)學(xué)題全部翻譯成中文，我就能拿到滿分。這句話反映出了很多同學(xué)的心聲，根據(jù)我的觀察，很多同學(xué)都在不同程度上存在讀不懂，讀得慢，回讀，反復(fù)讀的現(xiàn)象，這樣不僅大大浪費(fèi)了寶貴的做題時(shí)間，更嚴(yán)重阻礙了解題思路的構(gòu)建，最終導(dǎo)致正確率下降。簡單來說，在讀題過程中困擾我們的因素有兩個(gè)，一個(gè)是詞匯問題，另一個(gè)是速度問題。
1.1 詞匯問題
詞匯問題可以說是GMAT數(shù)學(xué)三大難點(diǎn)里面最容易突破的方面。解決辦法非常之簡單：背會(huì)數(shù)學(xué)詞匯，放棄無關(guān)詞匯。數(shù)學(xué)詞匯一定要背熟背好，因?yàn)橹形呐c英文的數(shù)學(xué)表達(dá)習(xí)慣有很大的區(qū)別，尤其是一些固定用法。比如說很多同學(xué)在學(xué)習(xí)英語初期最大的困擾就是關(guān)于A is divided by B到底是AB還是BA，很多同學(xué)用語法分析認(rèn)為是BA，可是在英語里面這句話的意思恰恰相反，是AB。還有就是我們國內(nèi)經(jīng)常會(huì)說A比B多一倍，也就是A是B的兩倍，A=2B。但是在美國，表達(dá)A=2B會(huì)直接說 Therere twice as many A as B，這句話如果用語法分析就會(huì)越分析越亂，也會(huì)大大影響做題思路。所以，對(duì)于數(shù)學(xué)詞匯和固定用法，我們一定要做到熟記熟用。
除了數(shù)學(xué)詞匯，在GMAT數(shù)學(xué)題目中還會(huì)出現(xiàn)一部分無關(guān)詞匯，在應(yīng)用題中尤為多見，這些詞匯只與題目所描述的場景有關(guān)，對(duì)解題不產(chǎn)生任何的影響。對(duì)于這類詞匯，我們?nèi)绻J(rèn)識(shí)就直接理解，如果不認(rèn)識(shí)也沒關(guān)系，提煉首字母即可做題。比如說《GMAT官方指南數(shù)學(xué)分冊(cè) 第二版》中第85頁的第175題描述了一個(gè)square plaque，此時(shí)如果不認(rèn)識(shí)plaque，可以直接用p代替，理解成一個(gè)正方形的東西p即可，對(duì)解題沒有任何影響。
1.2 速度問題
在教學(xué)過程中，我觀察到只有少部分同學(xué)長題目只需讀一遍題就能夠開始做題，大多數(shù)同學(xué)都需要讀兩遍甚至更多遍才開始動(dòng)筆。讀題慢，回讀，反復(fù)讀這些現(xiàn)象大大影響了同學(xué)們做題速度。對(duì)于這種現(xiàn)象的解決辦法只有一個(gè)，那就是做題時(shí)要養(yǎng)成記筆記的習(xí)慣。
其實(shí)回讀和反復(fù)讀的起因很簡單，當(dāng)一道題目里面的信息量過大，而且題目相對(duì)復(fù)雜時(shí)，只讀題不記筆記的結(jié)果就是讀著后面的，忘著前面的，讀完最后一句覺得條件不完整，于是又回到前面去找條件，如此往復(fù)多次后才能找全條件，開始做題。而且很多題目中的數(shù)字完全用英文表示而非阿拉伯?dāng)?shù)字，比如說 eight hundred，forty-five等，此時(shí)如果不隨手把英文轉(zhuǎn)化成阿拉伯?dāng)?shù)字，等最后讀完題后還要再回來找數(shù)字，非常浪費(fèi)時(shí)間。
但是如果同學(xué)們?cè)谧x題過程中，每讀完一句話就把這句話里面的信息點(diǎn)和數(shù)字簡單地記下來，把英文轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)表達(dá)式，這樣等到讀完題目后，草稿紙上顯示的就是整道題目完整的脈絡(luò)和信息點(diǎn)，看著筆記立刻就可以開始做題。而且由于每句話的信息點(diǎn)都已經(jīng)轉(zhuǎn)化成了筆記，整道題也就沒有了回讀的必要。同學(xué)們?cè)诩m正自己回讀的習(xí)慣時(shí)可以拿一個(gè)小卡片，每讀完一行并記下來信息點(diǎn)后就把這一行給遮住，不再回讀。長此以往，習(xí)慣一旦養(yǎng)成，就會(huì)大大減少回讀和反復(fù)讀的次數(shù)，提高讀題速度。
記筆記的習(xí)慣不僅僅可以解決讀題速度問題，還可以提高做題正確率。因?yàn)樽x這個(gè)動(dòng)作攝取信息的量是小于寫這個(gè)動(dòng)作的，很多題目在讀題的時(shí)候讀得很順，信息點(diǎn)都一帶而過，但是等到真正去把信息點(diǎn)記下來時(shí)就會(huì)發(fā)現(xiàn)一些讀的時(shí)候容易忽略的細(xì)節(jié)，而這些細(xì)節(jié)往往會(huì)決定最后做題的正誤。《商學(xué)院入學(xué)考試指導(dǎo) 上》的第164頁的第203題就是一個(gè)很好的例子：
In Township K, 1/5 of the housing units are equipped with cable television. If 1/10 of the housing units , including 1/3 of those that are equipped with cable television , are equipped with videocassette recorders ,what fraction of the housing units have neither cable television nor videocassette recorders ?
23/30
11/15
7/10
1/6
2/15
這是一道集合題，題目本身并不難，告訴了我們一個(gè)小鎮(zhèn)上1/5的家庭有電視，1/10的家庭有錄像機(jī)，還有一部分家庭既有電視又有錄像機(jī)，要我們求有多少家庭既沒有電視，也沒有錄像機(jī)。這道題只要畫出下面的維恩圖，很容易就能求出陰影部分：
現(xiàn)在我們已經(jīng)知道1/5的家庭有電視，1/10的家庭有錄像機(jī)，然后劃線部分告訴了我們既有電視又有錄像機(jī)的住戶比例。在讀題的過程中，劃線部分 If 1/10 of the housing units , including 1/3 of those that are equipped with cable television , are equipped with videocassette recorders 并沒有任何的生詞或者難句，很多同學(xué)都會(huì)迅速的一帶而過，認(rèn)為1/3 of those指的是1/10的1/3，馬上口算得出既有電視又有錄像機(jī)的比例是1/30，進(jìn)而根據(jù)求并集公式|AB| = |A| + |B| - |A B|算出有電視的家庭和有錄像機(jī)的家庭的并集為1/5 + 1/10 - 1/30 = 4/15，則陰影部分 = 1 - 4/15 = 11/15，從而錯(cuò)選B選項(xiàng)。
然而，如果同學(xué)們對(duì)于劃線部分邊讀邊記的話，相對(duì)來說就會(huì)讀得更細(xì)一點(diǎn)，記的過程中就會(huì)發(fā)現(xiàn)1/3 of those后面跟著一個(gè)that引導(dǎo)的從句來修飾those，也就是說1/3 of those指的是 equipped with cable television，也就是說有電視的家庭里面的1/3同時(shí)也有錄像機(jī)，那么既有電視又有錄像機(jī)的比例就是1/3 1/5 = 1/15，有電視的家庭和有錄像機(jī)的家庭的并集為 1/5 + 1/10 - 1/15 = 7/30，既沒有電視，又沒有錄像機(jī)的家庭就是1 7/30 = 23/30，選擇A.
思維問題
解決了讀題問題，GMAT數(shù)學(xué)擺在我們面前的下一個(gè)障礙就是思維問題了。對(duì)于大部分考生來講，思維問題主要集中在兩個(gè)方面，一個(gè)是想太多，容易把題目想復(fù)雜;另一個(gè)是想太少，容易漏讀題目的條件。下面我們來分別分析和解決這兩種問題：
2.1 想太多
經(jīng)歷過中考，高考，和大學(xué)期間的各種數(shù)學(xué)考試的折磨后，很多同學(xué)看到GMAT數(shù)學(xué)題時(shí)自然而然的會(huì)想復(fù)雜，想太多，以及想當(dāng)然。甚至有些同學(xué)看到最簡單的GMAT數(shù)學(xué)題都遲遲不敢選答案，總覺得題目里面有陷阱，否則不應(yīng)該這么簡單。這是因?yàn)閲鴥?nèi)的種種數(shù)學(xué)考試都是做橫向比較，考生只和同一批考生比成績。因此，在中高考這些國內(nèi)數(shù)學(xué)考試中，出題人會(huì)大量的給考生設(shè)置陷阱，誘導(dǎo)一部分人犯錯(cuò)，從而拉開考生檔次。然而與國內(nèi)考試不同，GMAT數(shù)學(xué)是水平能力測試，旨在考查考生對(duì)基本數(shù)學(xué)概念的理解和基本數(shù)學(xué)技能的應(yīng)用，而不是要拉開考生的檔次，所以GMAT數(shù)學(xué)的出題人并不會(huì)給考生大量的設(shè)置陷阱。在美國教授數(shù)學(xué)以及與美國數(shù)學(xué)家合作交流的過程中，我體會(huì)到相比于中國出題人的復(fù)雜思維，美國數(shù)學(xué)家的出題思維非常直接，題目的內(nèi)在邏輯非常清楚，考什么就問什么，不管是簡單題還是難題都不會(huì)故意去設(shè)計(jì)陷阱，所以對(duì)于任何一道GMAT數(shù)學(xué)題，大家要做的就是讀懂這道題，找到這道題的核心，理解出題人想要考察的方面。除此之外其他一切都無需多想，只需循著題目的內(nèi)在邏輯一步步解題，最終一定會(huì)得到正確答案。
我們來看一道大部分同學(xué)都會(huì)糾結(jié)，甚至做錯(cuò)的題目 《GMAT官方指南數(shù)學(xué)分冊(cè) 第二版》中第83頁的第158題：
A set of numbers has the property that for any number t in the set, t+2 is in the set. If -1 is in the set, which of the following must also be in the set?
I. -3
II. 1
III. 5
I only
II only
I and II only
II and III only
I, II, and III
這道題目非常簡潔，說在一個(gè)集合里面，如果t存在，比t大2的數(shù)字t+2就一定存在。那么如果 -1在這個(gè)集合里面的話，下面哪個(gè)數(shù)也一定在這個(gè)集合里面?
這道題目的核心就是考察t和t+2的關(guān)系，內(nèi)在邏輯就是由t可以推出來t+2，也就是t t+2. 那么現(xiàn)在我們知道這個(gè)集合里面有 -1，根據(jù)t t+2的定義，集合里面一定有 -1 + 2 = 1，II正確。那么我們接下來去驗(yàn)證I和III: 對(duì)于I. -3，如果 -1在集合里面的話，-1 + 2 -1，也就是說集合里面的其他數(shù)字肯定都大于 -1，而-3比 -1還要小，我們無法推出 -3也在集合中，所以I錯(cuò)誤。對(duì)于III. 5，既然1在集合里，那么1 + 2 = 3也一定在集合里，如果3在集合里，那么3 + 2 = 5也一定在集合里，此時(shí)得到了III正確。
這道題目做到這里就已經(jīng)圓滿完成了，我們完整的follow了題目的內(nèi)在邏輯：t t+2，最后得到正確答案就是 II and III only. 可是根據(jù)我的觀察，大部分同學(xué)此時(shí)都會(huì)有點(diǎn)不放心，都會(huì)不約而同地回去糾結(jié)于I. -3這個(gè)選項(xiàng)。因?yàn)楹芏嗤瑢W(xué)認(rèn)為 II. 1和III. 5這兩個(gè)選項(xiàng)都是很直接，很容易地就推了出來，根據(jù)正常的國內(nèi)考試出題規(guī)律，這道題應(yīng)該沒那么簡單，自己很有可能沒有考慮完整，于是又看了一眼I. -3，突然眼前一亮，啊!原來-1 = -3 + 2，那么既然 -1在集合里面， -3也就在集合里面，這道題應(yīng)該選擇 I, II, and III，于是心里暗暗慶幸自己多想了一步，殊不知自己恰恰就是被自己這點(diǎn) 中國式的小聰明 所害，只顧著和出題人斗智斗勇，而違背了這道題本身的內(nèi)在邏輯，最終選擇了錯(cuò)誤的答案。我們剛剛講過，這道題目的內(nèi)在邏輯是t t+2，由一個(gè)小一點(diǎn)的數(shù)字推出比它大2的數(shù)字。我們現(xiàn)在已知 -1在集合中，如果選擇I. -3的話，根據(jù) -3 + 2 = -1，此時(shí) -3就是t，-1就是t+2, 這道題就變成由題目里已知的 -1推出了答案里的 -3，內(nèi)在邏輯也就由t t+2變成了 t+2 t，違背了題設(shè)條件，很明顯是不成立的。
通過這道題目我們可以看出，很多同學(xué)的思維方式受國內(nèi)考試影響非常大，不由自主的會(huì)把題目想復(fù)雜，會(huì)時(shí)刻擔(dān)心出題人的陷阱，而忽略了題目的核心和內(nèi)在邏輯。對(duì)于思維方式的訓(xùn)練，我給大家以下兩個(gè)建議：
1、時(shí)刻提醒自己不要想太多，不要讓國內(nèi)的考試思維影響到自己，對(duì)于GMAT數(shù)學(xué)題，只需讀懂題目，找準(zhǔn)核心，理解問題，然后循著題目的內(nèi)在邏輯一步步解題即可。
2、做錯(cuò)的題目一定要總結(jié)錯(cuò)誤原因，列出錯(cuò)題表并分析自己的問題所在。對(duì)于由思維方式差異而導(dǎo)致的錯(cuò)題，一定要去看題目的講解，然后對(duì)比自己的思路與出題人的思路，找到差異，總結(jié)考點(diǎn)。
2.2 想太少
在大部分國內(nèi)數(shù)學(xué)考試中，題目中時(shí)不時(shí)都會(huì)出現(xiàn)一些沒用的條件，也就是出題人挖下的陷阱，旨在對(duì)考生起到迷惑作用，干擾考生的解題思路。然而在GMAT數(shù)學(xué)中，是絕對(duì)不會(huì)有沒用的條件的，題目中的每一個(gè)條件都會(huì)在解題發(fā)生作用。所以同學(xué)們?cè)谧鲱}過程中，如果發(fā)現(xiàn)自己走進(jìn)了 死胡同，思路無法繼續(xù)時(shí)，請(qǐng)務(wù)必回頭重新讀一下題目，看看自己是否用到了題目的所有條件，尤其是一些相對(duì)比較隱蔽的條件，如positive/negative, odd/even, integer, nonzero, consecutive number等等。
細(xì)節(jié)問題
與國內(nèi)數(shù)學(xué)考試大多側(cè)重于知識(shí)點(diǎn)的難度不同，所有的美國數(shù)學(xué)考試都有一個(gè)共同的側(cè)重點(diǎn) 細(xì)節(jié)。關(guān)于這個(gè)問題我曾經(jīng)和很多美國數(shù)學(xué)家探討過，發(fā)現(xiàn)相比于國內(nèi)，美國的數(shù)學(xué)考試更需要嚴(yán)格遵循考試大綱的要求，不會(huì)出現(xiàn)超出考試大綱或者超出難度要求的題目，所以無法在知識(shí)層面上做文章。而且美國數(shù)學(xué)更注重實(shí)效性，不在意精彩的解題方法或深厚的知識(shí)層面，只要能夠正確快速解題即可。由于細(xì)節(jié)在很大程度上決定了解題的正確與否，所以GMAT數(shù)學(xué)考試中含有大量對(duì)細(xì)節(jié)的考察，其中最常見的就是單位轉(zhuǎn)換。
3.1 單位問題
對(duì)于單位轉(zhuǎn)換，首先我們必須掌握的就是同一度量衡內(nèi)單位的轉(zhuǎn)換，比如說最常考到的就是hour minute second之間的轉(zhuǎn)換，此時(shí)尤其要注意的就是1 hour = 60 minutes，而不是 = 100 minutes，經(jīng)常有同學(xué)做題時(shí)一時(shí)大意就會(huì)轉(zhuǎn)換錯(cuò)誤。另外一個(gè)常考的就是km m cm之間的轉(zhuǎn)換，1km = 1,000m, 1m = 100cm，以及kg g mg之間的轉(zhuǎn)換，1kg = 1,000g, 1g = 1,000mg。比如說2023年2月份就考到了kg與mg之間的轉(zhuǎn)換，題目告訴了我們一種東西1kg的價(jià)錢，讓我們求這種東西600mg的價(jià)錢是多少。此時(shí)我們就需要知道1kg = 1,000g = 1,000,000mg。另外由于GMAT是美國考試，所以題目中時(shí)常也會(huì)遇到美制度量衡的單位，比如說英尺 和英寸 ，1 feet = 12 inches，1 feet2 = 1212 inch2 = 144 inch2，這些轉(zhuǎn)換都是我們需要知道的。
如果考到不同度量衡之間的轉(zhuǎn)換，題目往往會(huì)告訴我們轉(zhuǎn)換的比例。比如說《GMAT官方指南 第十二版》中第156頁的第28題，題目中使用的單位是inches, 而在問題中使用的單位是kilometers，涉及到了不同度量衡之間的轉(zhuǎn)換。這道題目的末尾處就明確寫出了 所以對(duì)于這類轉(zhuǎn)換同學(xué)們無需擔(dān)心，只需根據(jù)題目數(shù)據(jù)細(xì)心轉(zhuǎn)換即可。
我們之間介紹過的記筆記的習(xí)慣同樣可以幫助我們解決單位轉(zhuǎn)換的問題。同學(xué)們筆記中記到數(shù)字時(shí)，一定不要只記數(shù)字本身，還要把單位也給記下來，這樣子立刻就會(huì)注意到題目前后單位的不同，做題時(shí)就不會(huì)因?yàn)榇中亩洆Q算。
3.2 粗心問題
說到細(xì)節(jié)問題就一定要談到粗心。根據(jù)本人觀察，首先，粗心并不僅僅是男生的專利，大多數(shù)同學(xué)都或多或少的遇到過粗心問題。其次，粗心問題也并不僅僅包含做題時(shí)抄錯(cuò)數(shù)字，漏看條件，或者忘記換算單位，粗心問題還經(jīng)常集中在答非所問上，也就是說沒有完全理解問題就匆忙動(dòng)筆，導(dǎo)致算出的結(jié)果不在5個(gè)選項(xiàng)之中，或者浪費(fèi)了很久時(shí)間才發(fā)現(xiàn)算不出結(jié)果。
對(duì)于粗心問題的解決辦法有兩個(gè)，首先就是不斷的自我提醒。我之前介紹過錯(cuò)題一定要總結(jié)成錯(cuò)題集并標(biāo)明詳細(xì)的錯(cuò)誤原因，如果你發(fā)現(xiàn)自己的錯(cuò)誤原因里面出現(xiàn)了大量的粗心 抄錯(cuò)數(shù)字，粗心 漏看條件，或者粗心 忘記單位換算，那么你以后每次做題或者模考前都要提醒自己注意這些細(xì)節(jié)，正式考試前也不要忘記提醒自己。長此以往，自己會(huì)越來越注意這些細(xì)節(jié)，從而逐漸改正做題粗心的問題。
對(duì)于出現(xiàn)答非所問的同學(xué)，請(qǐng)務(wù)必堅(jiān)持把問題，也就是帶問號(hào)的最后一句話給讀兩遍。第一遍認(rèn)真讀，第二遍double check，確保自己正確理解問題再動(dòng)筆。對(duì)于一些癥狀更加嚴(yán)重的同學(xué)，不妨將問題也簡單記在草稿紙上，解題時(shí)隨時(shí)都能看得到問題，思路就不會(huì)跑偏。可能有些同學(xué)會(huì)擔(dān)心讀兩遍問題，包括讀題時(shí)記筆記這些方法會(huì)耽誤自己的做題時(shí)間。對(duì)于這一點(diǎn)大家要明白磨刀不誤砍柴工這個(gè)道理，首先double check和記筆記的時(shí)間會(huì)隨著不斷的堅(jiān)持訓(xùn)練而逐步縮短，最后甚至可以忽略不計(jì)。其次，讀兩遍問題所消耗的時(shí)間僅僅是其可能幫你節(jié)省的時(shí)間的幾十分之一，因?yàn)槿绻x錯(cuò)問題，浪費(fèi)的時(shí)間很可能不止1分鐘，與其這樣還不如花多幾秒鐘double check;同樣的道理，記筆記所消耗的時(shí)間也遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于回讀和反復(fù)讀所浪費(fèi)的時(shí)間。
以上就是筆者對(duì)GMAT數(shù)學(xué)部分三大難點(diǎn)的解析和相關(guān)對(duì)策。請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合自己的實(shí)際情況，合理采納其中的建議并堅(jiān)持訓(xùn)練，因?yàn)橄胍牡翦e(cuò)誤習(xí)慣的唯一方法就是堅(jiān)持正確的習(xí)慣。在剛剛開始培養(yǎng)新習(xí)慣的時(shí)候一定會(huì)出現(xiàn)短暫的不適應(yīng)和耗時(shí)長等問題，但這些問題一定會(huì)隨著不斷的堅(jiān)持而消失，新習(xí)慣也會(huì)隨著不斷的堅(jiān)持而養(yǎng)成。只要大家在的課堂上解決了知識(shí)點(diǎn)和解題技巧的問題，并按照本篇文章的指導(dǎo)攻克了GMAT數(shù)學(xué)的三大難點(diǎn)，我相信每位同學(xué)都可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)51分的目標(biāo)。
